Ծնվել է Մոսկվայում։ Հայրը ազգությամբ` հայ «Մետրոպոլ» ռեստորան ի շեֆ-խոհարարն էր։ Ենգիբարյանների ընտանիքը ապրում էր Մոսկվայի Մարյինա
Մինչև իր կյանքը կրկեսին նվիրելը Ենգիբարյանը փորձել է մի քանի այլ մասնագիտություններ։ 1952-ին ավարտելով միջնակարգ դպրոցը` ընդունվել է ձկնային տնտեսության ինստիտուտ։ Սակայն այնտեղ սովորել է ընդամենը կես տարի` տեղափոխվել է ֆիզկուլտուրայի ինստիտուտ։ Այդ ժամանակ նա պրոֆեսիոնալ բռնցքամարտիկ էր և մինչև 50-ականների կեսերը լավ արդյունքների էր կարողացել հասնել այդ բնագավառում։
1952- 1953 մրցաշրջանում բռնցքամարտի Մոսկվայի առաջնությունում Ենգիբարյանը տանում է 9 հաղթանակ և պարտվում ընդամենը մեկ անգամ։ Արդյունքում գրավում է 3-րդ տեղը իր քաշային կարգում։ 1952-ին սկսելով երրորդ կարգից`1954-ին արդեն առաջին կարգային բռնցքամարտիկ էր։ 1955-ին Կրկեսային արվեստի պետական ուսումնարանում բացվում է կլոունադայի բաժին և Լեոնիդը ընդունվում է այդտեղ։ 1959-ին,ավարտելով ուսումնարանը, գալիս է Երևան և ընդունվում հայկական կրկեսախումբ։ 1956-ից Լեոնիդը նկարահանվել է կինոյում։ 1958 թ. նա հայտնվել էր «Կոմունիստ» ֆիլմի փոքրիկ մի դրվագում` խաղալով կինոնկարի գլխաաջարկեցին կինոյում խաղալ ինքն իրենվոր հերոսին սպանող հանցագործներից մեկի կերպարը։